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Homotopical category
　Model categoryの公理はかなりきつい。というか、それを示すのがかなり骨が折れる。model categoryになっていなくとも、あるいはそこまでの要求をしなくても、目的によっては十分homotopy theoryが行えるという考えもある。そこで、model categoryの条件を少し弱めたものを考えてみる。簡単に言えば、cofibration、fibration、weak equivalenceのいずれかを削り、model categoryよりも弱いcatgeoryを考える。
　Waldhausenはcategory with cofibration、weak equivalence、cofibration and weak equivalenceというものを考えている。彼は論文【Wal85】で空間に対するalgebraic K-theoryの構成を考える際に、exact categoryからQuillenの構成を一般化しようとしたようだ。そのためには、cofibrationとweak equivalenceがあればよいらしい。というわけで、model categoryならずとも、Exact categoryはisomorphismとdeflation（admissible mono）でWaldhausen catgeoryになっている。彼の論文の冒頭では、category with cofibrationというもの考えられている。homotopy colimtを構成するという目的では【Ban06】がABC-cofibration categoryというものを考えている。small categoryのcategoryでhomotopy論を展開するためstrong homotopyというものを考えるのに、Λ-cofibration categoryを導入しているのはMinianである。
　homotopy categoryを考えるだけなら、weak equivalenceだけあれば事足りる。ということで、DwyerやKanらは「Homotopical category」というものを【DHKS06】で考えている。cofibrationやfibrationが無いのだからhomotopy論を展開することは難しいのだが、category theoryのhomotopic versionがいろいろと考えられている。homotopy （co）limit、homotopy inicial（terminal） objectやhomotopical Kan extensionなどである。